遍历理论中的时间平均与空间平均

学习参考

遍历理论研究带有不变测度的动力系统，起源与统计物理的遍历假设有关。系统不断演化时，研究者既可以沿某个初始状态的轨道取长期平均，也可以对整个状态空间按测度求平均，两种平均通常未必相同。

概率空间上的保测变换若具有遍历性，其不变可测集合只能有零或一的测度。直观地说，系统不能被分成两个都占有正概率、又各自永久封闭的独立部分，这使长期轨道与整体分布之间可能建立联系。

伯克霍夫遍历定理说明，在合适的可积条件及遍历性下，时间平均与空间平均几乎处处相等。几乎处处允许零测度的例外，不能改写成每个初始点都成立。这个区别是理解定理的重要部分，也说明长期观察能够代表总体的结论，需要明确的数学条件。

资料依据：维基百科《遍历理论》及该页贡献者（修订记录）。本文重组论述并改写表达；依Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0提供。